Tytuł pozycji:
Kaczmarz algorithm revisited
In 1937, Stefan Kaczmarz proposed a simple method, called the Kaczmarz algorithm, to solve iteratively systems of linear equations Ax = b in Euclidean spaces. This procedure employs cyclic orthogonal projections onto the hyperplanes associated with such a system. In the case of a nonsingular matrix A, Kaczmarz showed that his method guarantees convergence to the solution of Ax = b. The Kaczmarz algorithm was rediscovered in 1948 and became an important tool in medical engineering. We briefly discuss generalizations of this method and its ramifications, including applications in computer tomography, image processing and contemporary harmonic analysis.
W 1937 roku Stefan Kaczmarz zaproponował prostą metodę [KA], zwaną obecnie algorytmem Kaczmarza, za pomocą której można rozwiązywać iteracyjnie układy równań liniowych Ax = b w przestrzeniach euklidesowych. Metoda ta używa cyklicznego ciągu rzutów ortogonalnych na hiperpłaszczyzny związane z tym układem. W przypadku macierzy odwracalnej A Kaczmarz pokazał, że jego metoda gwarantuje zbieżność do rozwiązania układu równań Ax = b. Metoda ta została ponownie odkryta w 1948 roku i stała się ważnym narzędziem w inżynierii medycznej. Omawiamy tutaj pokrótce uogólnienia tej metody i ich zastosowania w tomografii komputerowej, przetwarzaniu obrazów i we współczesnej analizie harmonicznej.
Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę.
