Convergence sets of power series

Celem pracy jest dokonanie przeglądu twierdzeń opisujących możliwe zbiory zbieżności szeregów potęgowych. W pierwszej części znajdują się definicje i własności szeregów potęgowych rzeczywistych zespolonych i zespolonych. Następnie dokonana zostaje pełna klasyfikacja możliwych zbiorów zbieżności w przypadku rzeczywistym, a także, poprzez m. in. odpowiednie przykłady, uzasadniona zostaje trudność tego problemu w przypadku zespolonym. Analiza szczególnie interesujących szeregów potęgowych doprowadziła do sformułowania warunku wystarczającego, by zbiór był zbiorem zbieżności pewnego szeregu. Poprzez teorię funkcji otrzymany został warunek konieczny. Charakteryzacja zbiorów zbieżności nie jest jednak kompletna i pozostaje problemem otwartym.

The aim of the thesis is to review theorems concerning convergence sets of power series. In the first chapter there are definitions and basic properties of both real and complex power series. Then complete classfication of convergence sets is made and the difficulty of this problem in the complex case is explained. Analysis of particular power series leads to obtaining a sufficient condition for a set to be convergence set. Necessary condition is achieved by usage of funtion theory. Characterization of convergence sets is not complete and remains an open problem.