Zastosowanie rachunku ułamkowego rzędu do modelowania pewnej klasy generatorów nieliniowych

W pracy przedstawiono metodę linearyzacji nieliniowego równania stanu z zastosowaniem geometrycznej transformacji zmiennych stanu. Do konstrukcji tej transformacji wykorzystano elementy algebry Liego. Podano odpowiednie definicje i twierdzenia, na podstawie których dokonano linearyzacji nieliniowego równania stanu drugiego rzędu, opisującego pewien nieliniowy generator. Następnie w zlinearyzowanym równaniu, zmieniając operator różniczkowy pierwszego rzędu na operator rzędu ułamkowego, uzyskano liniowy ciągły układ ułamkowego rzędu, który rozwiązano stosując macierzowe funkcje Mittag-Lefflera. Uzyskane wyniki w porównaniu z rozwiązaniem równania pierwszego rzędu przedstawiono na wykresach. Obliczenia wykonano dla rzędów mniejszych i większych od jednego, co pozwoliło na wyciągnięcie pewnych wniosków.

---

Linearization method for nonlinear equation of state by using the geometric transformation of the state variables is shown in the paper. Some elements of Lie algebra was used for the construction of this transformation. All necesary definitions and principles that are required to linearize the nonlinear state equation describing a second-order non-linear generator is shown. Continuous linear fractional system is the result of change of the first order differential operator on the order of the fractional operator in the linearized equation. It was solved by using matrix Mittag-Leffler functions. A comparison of the results with the solution of equations of the first order is made. The results are shown in diagrams. The calculations were made for the lower and higher than first orders of equations.