Orthgonality of Laguerre polynomial system

Introduction and aim: The paper presents some Laguerre polynomials, orthogonality condition for Laguerre polynomials, recurrence formula and differential equation for Laguerre polynomials. The aim of the discussion was to give some proof of orthogonality of Laguerre polynomial system. Material and methods: Selected material based on some knowledge about Laguerre polynomials which has been obtained from the right literature. The proof of the theorem describing the orthogonality of Laguerre polynomials has been elaborated using a deduction method. Results: Has been shown some proof of the theorem describing the orthogonality of Laguerre polynomials. It has been shown an example of orthogonality testing a pair of two arbitrary Laguerre polynomials. Conclusions: In the paper has been shown the proof of theorem: The system of Laguerre polynomials is orthogonal in the interval 〈0,+∞) with weight function p(z) = zaexp(-z) for a>-1.

---

Wstęp i cel: W pracy przedstawiono wielomiany Laguerre’a, warunek ortogonalności dla układu tych wielomianów, funkcję tworzącą oraz równanie różniczkowe dla wielomianów Laguerre’a. Celem rozważań było przeprowadzenie dowodu twierdzenia o ortogonalności układów wielomianów Laguerre’a. Materiał i metody: Materiał stanowiły wybrane wiadomości o wielomianach Laguerre’a uzyskane z literatury przedmiotu. W przeprowadzonym dowodzie zastosowano metodę dedukcji. Wyniki: Pokazano dowód twierdzenia o ortogonalności układów wielomianów Laguerre’a. Podano przykład badania ortogonalności pary dwóch dowolnych wielomianów Laguerre’a. Wniosek: W pracy przeprowadzono dowód twierdzenia: Układ wielomianów Laguerre’a jest ortogonalny w przedziale 〈0,+∞) z wagą p(z) = zaexp(-z) dla a>-1.