A comparison of accuracy and extrapolation range of the von Bertalanffy equation and the modified power function

e paper presents results of a comparative analysis of two mathematical models of fish length growth: the von Bertalanffy equation and the modified power function. The accuracy of mathematical modelling of empirical data and a potential for extrapolation of theoretical growth range beyond the empirical data are compared. The data on accuracy and extrapolation potential, obtained with the two models tested and averaged for a species, were subject to the Student′s t test. Additionally, an attempt was made to determine a relationship between accuracy and extrapolation potential of each model; linear regression was used to describe the relationship. The generalised (ignoring between-specific differences) description of the relationship involved exponential, logarithmic, and power regressions in addition to linear regression.

W niniejszej pracy przedstawiono porównanie dokładności dwóch wybranych matematycznych modeli wzrostu długości — równania von Bertalanffy'ego i zmodyfikowanej funkcji potęgowej. Następnym spośród badanych zagadnień było określenie zakresu ekstrapolacji wspomnianych modeli wzrostu (z dopuszczalną 5% tolerancją względem danych empirycznych) oraz — w końcowym etapie pracy — ustalenie charakteru zależności pomiędzy dokładnością modelu a zakresem ekstrapolacji. Przedmiotem badań było tempo wzrostu długości (według danych różnych autorów) 10 gatunków ryb: rozpióra, leszcza, płoci, wzdręgi, szczupaka, okonia, sandacza, sielawy, śledzia i dorsza; w odniesieniu do każdego gatunku przeanalizowano od 21 do 30 przypadków. Uzyskane wyniki wskazują, że przeciętna dokładność analizowanych modeli nieznacznie przekracza 0,5 cm (jest to wartość średniej różnicy wyników empirycznych i obliczonych z modelu), natomiast zakres ekstrapolacji wynosi około 2 lat. Zarówno w odniesieniu do poszczególnych przypadków, jak i do średnich wartości ustalonych dla badanych gatunków ryb odnotowano bardzo duże rozproszenie uzyskanych wyników. Zależności pomiędzy dokładnością modelu a wielkością zakresu ekstrapolacji, określane dla poszczególnych gatunków metodą regresji prostoliniowej, miały we wszystkich badanych przypadkach charakter zależności odwrotnych (ujemne wartości współczynników regresji i współczynników korelacji). Przy podjęciu próby bardziej ogólnego określenia wspomnianych zależności, bez uwzględniania różnic gatunkowych, zastosowano dodatkowo regresję wykładniczą (y= a.ehx), logarytmiczną (y= a+b.ln x) i potęgową (y= a.xlb). Okazało się, że regresje krzywoliniowe (szczególnie regresja logarytmiczna) pozwalają na nieco ściślejsze skorelowanie badanych wielkości niż regresja prostoliniowa.