Tytuł pozycji:
Modelowanie procesów czasowych
W pracy omówiono wybrane problemy dotyczące modelowania układów czasowych, które mają liczne zastosowania. Szczególnym przypadkiem układu czasowego jest system dynamiczny. W modelach liniowych z macierzą systemu A zwrócono uwagę na zaskakujące własności tych modeli. Własności dynamiczne zależą od widma macierzy systemu A. Przedstawiono odpowiedzi na następujące 3 problemy/pytania: 1. Jeżeli macierz systemu A ma parę sprzężonych wartości własnych, to niesterowany układ przy niezerowych warunkach początkowych generuje przebiegi oscylacyjne. Czy istnieje klasa macierzy A posiadająca pary sprzężonych wartości własnych, a w układzie nie wystąpią oscylacje? 2. Klasyczny układ dynamiczny dx/dt =Ax jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy stanu A mają części rzeczywiste ujemne. Niech macierz układu czasowego A ma parę sprzężonych wartości własnych w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Czy układ czasowy może być asymptotycznie stabilny? 3. Trzecie pytanie dotyczy realizacji fizycznej. Czy można zbudować oscylacyjny (czyli posiadający parę sprzężonych zespolonych wartości własnych) obwód elektryczny rzędu n=3, którego macierz stanu będzie (cykliczną) macierzą Metzlera M ? Na wszystkie powyższe pytania odpowiedź jest pozytywna. Pierwsze i trzecie pytanie dotyczy tak zwanych układów dodatnich. Pytanie drugie układów niecałkowitego rzędu.
This work describes selected problems regarding time-based process models, which have numerous applications. Dynamic models are a special case of such systems. Some of their surprising features are indicated using linear models with the system matrix A. The dynamic properties depend on the spectrum of the matrix A. The following questions are answered: 1. If the matrix A has a pair of imaginary eigenvalues, the uncontrolled system will generate oscillatory trajectories for initial condition different than zero. Are there any matrices A with imaginary eigenvalues that do not generate oscillatory behaviour of the system? 2. A classic dynamic system dx/dt=Ax is asymptotically stable if and only if the eigenvalues of the matrix A have negative real parts. Let the matrix have a pair of eigenvalues in the right half of the complex plane. Is it possible that the system is asymptotically stable? 3. The third question concerns a physical realization of the model. Is it possible to create an oscillatory (i.e. having a pair of imaginary eigenvalues) electric system of third order, whose state matrix will be a (cyclic) Metzler matrix M? The answer to all these questions is yes. The systems from the first and third one are called positive systems, whereas the second one describes non-integer order systems.
Opracowanie rekordu w ramach umowy 509/P-DUN/2018 ze środków MNiSW przeznaczonych na działalność upowszechniającą naukę (2018).
