Hausdorff limits of one parameter families of definable sets in o-minimal structures

We give an elementary proof of the following theorem on definability of Hausdorff limits of one parameter families of definable sets: let A [subset of] R×Rn be a bounded definable subset in o-minimal structure on (R,+,∙) such that for any y∈(0,c), c>0, the fibre Ay:={x∈Rn:(y,x)∈A} is a Lipschitz cell with constant L independent of y. Then the Hausdorff limit lim[y→0] Āy exists and is definable.

---

W prezentowanej pracy przedstawiamy elementarny dowód następującego twierdzenia o definiowalności granicy Hausdorffa jednoparametrowej rodziny zbiorów definiowalnych: niech A [pozdbiór] R×Rn będzie ograniczonym zbiorem definiowalnym w strukturze o-minimalnej typu (R,+,∙) takim, że dla dowolnego y∈(0,c), c>0, wókno Ay:={x∈Rn:(y,x)∈A} jest komórką Lipschitza ze staą L niezależną od y. Wtedy granica Hausdorffa lim[y→0] Āy istnieje i jest definiowalna.