Using Montgomery curve arithmetic over Fp2 for point scalar multiplication on short Weierstrasscurve over Fp with exactly one 2 – torsion point and order not divisible by 4 for IT systems

Montgomery curves are well known because of their efficiency and side channel attacks vulnerability. In this article it is showed how Montgomery curve arithmetic may be used for point scalar multiplication on short Weierstrass curve ESW over Fp with exactly one 2-torsion point and # ESW(Fp) not divisible by 4. If P ∈ ESW(Fp) then also P ∈ ESW (Fp2). Because ESW (Fp2) has three 2-torsion points (because ESW(Fp) has one 2-torsion point) it is possible to use 2-isogenous Montgomery curve EM(Fp2) to the curve ESW(Fp2) for counting point scalar multiplication on ) ESW(Fp). However arithmetic in Fp2 is much more complicated than arithmetic in Fp, in hardware implementations this method may be much more useful than standard methods, because it may be nearly 45% faster..

---

Krzywe Montgomery’ego są znane ze względu na efektywność wykonywanych na nich operacji i ich odporność na ataki typu „side channel”. W artykule przedstawiono,w jaki sposób można wykorzystać arytmetykę krzywych Montgomery’ego w celu obliczenia krotności punktu na krzywej eliptycznej w skróconej postaci Weierstrassa ESW nad ciałem Fpz dokładnie jednym punktem 2-torsyjnym oraz # ESW (Fp) niepodzielnym przez 4. Jeżeli P∊ESW(Fp), wtedy również P∊ESW(Fp2). Ponieważ ESW(Fp2)posiada trzy punkty 2-torsyjne (wynika to z tego, że ESW(Fp) posiada jeden punkt 2-torsyjny), możliwe jest wykorzystanie krzywej Montgomery’egoEM(Fp2) 2-izogenicznej do krzywej ESW (Fp2), w celu obliczenia krotności punktu na krzywej eliptycznej na krzywej ESW(Fp). Jakkolwiek arytmetyka w ciałach Fp2jest bardziej skomplikowana niż arytmetyka w ciele Fp, w implementacjach sprzętowych metoda ta może być bardzo użyteczna i szybsza od metod klasycznych do 45%.

---

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę.