Differential Equation Chazy of the Third Order with Exact Solutions Expressed via the Elliptic Functions

The procedure of integrating the third-order Chazy differential equation with six singularities is presented, when the first six coefficients are equal to ±1/2, ± 1, ± 2. For five third-order differential equations it is shown that their general solutions are expressed via the elliptic functions. Two-parameter families of solutions in elliptic functions and one-parameter families of solutions in elementary functions are presented. The proposed integration method can be realized for the differential Chazy equation in those cases when the first six coefficients have values for which it is possible to solve a special algebraic equation of the fifth degree in radicals.

---

W artykule rozpatrzona została metoda rozwiązania równania różniczkowego Chazy’ego trzeciego rzędu, zawierającego sześć osobliwości w przypadku, gdy sześć pierwszych współczynników równa się ± 1/2, ± 1, ± 2. Dla pięciu równań różniczkowych trzeciego rzędu znaleziono ich ogólne rozwiązania za pomocą funkcji eliptycznych. Przedstawione zostały rodziny rozwiązań dwuparametrycznych za pomocą funkcji eliptycznych oraz rodziny rozwiązań jednoparametrycznych za pomocą funkcji elementarnych. Proponowana metoda rozwiązania może być zrealizowana dla równania różniczkowego Chazy’ego w tych przypadkach, gdy pierwsze sześć współczynników ma wartości, dla których istnieje możliwość rozwiązania szczególnego równania algebraicznego piątego stopnia za pomocą pierwiastków.