Badania własności liczb pierwszych i wielomianów nieprzywiedlnych pod kątem zastosowania w telekomunikacji

Praca stanowi obliczeniowe studium dwóch podstawowych obiektów matematycznych: liczb pierwszych i wielomianów nieprzywiedlnych pod kątem zastosowań w telekomunikacji. Oba z wymienionych obiektów pełnią podobną, podstawową rolę w teorii ciał skończonych, teorii kodowania i kryptografii. Duża część rozprawy obejmuje oryginalne wyniki autora dotyczące najmniejszych niereszt kwadratowych, najmniejszych pierwiastków pierwotnych modulo liczba pierwsza lub potęga liczby pierwszej oraz wybranych własności wielomianów nieprzywiedlnych. Autor pokazuje, jak można je wykorzystać do projektowania generatorów pseudolosowych i szyfrów. Jednym z przykładów zastosowań przywiedzionych w rozprawie jest modyfikacja algorytmu A5/1 wykorzystywanego w komunikacji GSM w celu poprawy jego mocy kryptograficznej.

---

This dissertation is a numerical study of two basic mathematical objects, prime numbers and irreducible polynomials, in terms of telecommunications applications. The above-mentioned objects play a similar, basic role in finite fields theory, coding theory and cryptography. A large part of the dissertation contains author's original results, concerning the least quadratic non-residues, least primitive roots of a prime or a prime power, as well as some selected properties of irreducible polynomials. The author shows how the theory can be applied in designing pseudorandom generators and stream ciphers. An example is presented - how to modify the A5/1 encryption algorithm, used in GSM communication, to improve its cryptographic strength.