Numerical Analysis of the Discrete, Fractional Order PID Controller Using FOBD Approximation

This paper proposes a methodology of the numerical testing of the discrete, approximated Fractional Order PID Controller (FOPID). The fractional parts of the controller are approximated using the Fractional Order Backward Difference (FOBD) operator. The goal of the analysis is to find the memory length optimum from point of view both accuracy and duration of computations. To do it new cost functions describing both accuracy and numerical complexity were proposed and applied. Results of tests indicate that the optimum memory length lies between 200 and 400. The proposed approach can be also useful to examine of another discrete implementations of a fractional order operator using FOBD.

---

W artykule zaproponowano metodologię analizy numerycznej dyskretnego, aproksymowanego regulator PID niecałkowitego rzędu (regulator FOPID). Ułamkowe części regulatora są aproksymowane z wykorzystaniem aproksymacji FOBD (Fractional Order Backward Difference). Celem analizy jest znalezienie długości pamięci (wymiaru aproksymacji) optymalnej z punktu widzenia zarówno dokładności, jak i złożoności obliczeniowej. W tym celu zaproponowano i zastosowano nowe funkcje kosztu, opisujące oba te czynniki. Wynik testów wskazują, że optymalna długość pamięci w rozważanej sytuacji powinna leżeć w zakresie między 200 i 400. Proponowane podejście może też być wykorzystane do analizy innych dyskretnych implementacji operatora niecałkowitego rzędu, wykorzystujących operator FOBD.