Topological conjugacy of gradient cascades and learning process of a nonlinear neuron

This article discusses the topological conjugacy between a gradient dynamical system with a constant time step and a cascade generated by its Euler method. The result presented in this paper is that on a two-dimensional sphere a gradient dynamical system is, under some natural assumptions, correctly reproduced by Euler method for a time step sufficiently small. It means that the time-h-map of the induced dynamical system is globally topologically conjugate to discrete dynamical system obtained via Euler method. The presented theorem is applied to analysis of artificial nonlinear neuron learning process.

---

W artukule rozważany jest problem topologicznego sprzężenia kaskady otrzymanej z równania gradientowego poprzez ustalenie kroku czasowego i kaskady generowanej przez metodę Eulera dla tego równania. Prezentowane twierdzenie mówi o tym, że na dwuwymiarowej sferze, przy pewnych naturalnych założeniach, dynamika układu gradientowego jest poprawnie odtwarzana przez metodę Eulera, jeśli jej krok czasowy jest dostatecznie mały. Oznacza to, że kaskada otrzymana przez ustalenie kroku czasowego jest globalnie topologicznie sprzężona z dyskretnym układem dynamicznym generowanym przez metodę Eulera. Prezentowane twierdzenie jest zastosowane do analizy procesu nauki nieliniowego neuronu.