Split estimation of parameters in functional geodetic models

The method of estimation presented in the paper is based on the assumption that every measurement result can be a realization of either of two different, random variables (differing from each other in expected values). Supposing it, the functional model v = y - AX is split into two competitive ones v[alpha]= y - AX[alpha] and v[beta]= y - AX[beta], that concern the same vector of observation y (A is a common coefficient matrix, v[alpha] and v[beta] are competitive vectors of random errors, X[alpha] and X[beta] - competitive parameter vectors, respectively). The estimation process proposed here is based on the principle of crossing (mutual) weighting of competitive random errors vi[alpha] and vi[beta] (concerning the same observation yi). The proposed method is essential extension of M-estimation class. However, its practical application is not limited to a robust estimation of the parameter X (X^[alpha] estimator) and extended with estimator X^[beta] (concerning outliers). The presented method can be also applied to a joint adjustment of two observation sets measured in two, different epochs. Differences between competitive estimates X^[alpha] and X^[beta] can indicate displacements of network points. The paper presents some basic, numerical examples that illustrate principles of the split estimation in functional geodetic models.

---

Przedstawiona w pracy metoda estymacji wynika z założenia, że każdy z wyników pomiaru może być realizacją jednej z dwu zmiennych losowych różniących się wartościami oczekiwanymi. Takie założenie doprowadziło do rozszczepienia modelu funkcjonalnego v = y - AX na dwa konkurencyjne modele: v[alfa]= y - AX[alfa], v[beta]= y - AX[beta] , dotyczące tego samego wektora obserwacji y (A - znana macierz współczynników, v[alfa] i v[beta] - konkurencyjne wektory poprawek, X[alfa] i X[beta] - konkurencyjne wektory parametrów). W procesie estymacji szczególną rolę odgrywa zasada krzyżowego (wzajemnego) wagowania konkurencyjnych poprawek v[alfa] i v[beta] dotyczących tej samej obserwacji yi. Proponowana metoda estymacji jest istotnym rozszerzeniem M-estymacji. Jej praktyczne zastosowania nie ograniczają się jednak do odpornej estymacji parametru X. Metoda może być zastosowana także do wspólnego wyrównania obserwacji z dwu epok pomiarowych sieci geodezyjnych. Różnica między konkurencyjnymi estymatorami X^[alfa] i X^[beta] będzie wówczas wskazywać na przemieszczenie punktów tej sieci. W pracy zamieszczono proste przykłady numeryczne ilustrujące podstawowe właściwości rozszczepionej estymacji parametrów funkcjonalnych modeli obserwacji geodezyjnych.