Obliczanie efektywnej przewodności cieplnej kompozytów włóknistych w przypadku nieustalonego przepływu ciepła

Rozważano nieustalony przepływ ciepła materiału kompozytowego z jednokierunkowo ułożonymi włóknami o przewodności cieplnej lambda 1 w osnowie o przewodności cieplnej lambda 2. Rozpatrywany materiał kompozytowy jest przedstawiony w postaci jednostkowej komórki reprezentatywnej. Lokalnie temperatura spełnia równanie przewodnictwa cieplnego. Kontakt doskonały włókno-osnowa opisano za pomocą warunków sprężenia na brzegu włókna. W celu określenia makroskopowej przewodności lambda e, przeprowadzono uśrednienie prawa Fouriera w komórce jednostkowej. Szczególną uwagę poświęcono przypadkowi, gdy zewnętrzny strumień cieplny zmienia się w czasie zgodnie z funkcją wykładniczą. Wówczas rozpatrywane zagadnienie sprowadza się do zagadnienia brzegowego dla równania Helmholtza, które rozwiązano dla kompozytów słabo niejednorodnych, czyli dla wystarczająco małych delta= (lanbda 1 - lambda 2)/(lambda 1 + lambda 2). Po rozwiązaniu otrzymano analityczny wzór na lambda e, odpowiadający klasycznemu wzorowi Clausiusa-Mossottiego dla procesów stacjonarnych. Otrzymany wynik pokazuje, że efektywna przewodność kompozytów w przypadku niestacjonarnym zależy od historii procesu.

---

Unsteady heat conduction of the unidirectional fibers of conductivity lambda l embedded in a host material of conductivity fa is discussed when the considered composite is represented by a unit-periodicity cell. First, the local temperature field in the unit cell is modeled by the heat equation. The perfect contact between different materials is described by conjugation conditions on the boundary of the fibers. In order to determine the macroscopic conductivity lambda e of the composite we perform the spatial average of the Fourier law over the unit cell. Special attention is paid to the case when the given external flux obeys the decreasing exponential law in time. Then the problem is reduced to a boundary value problem for the Heunholtz equation. The latter problem is solved for weakly inhomogeneous composites, i.e. delta = (lambda 1 - lambda 2)/(lambda 1 + lambda 2) is sufficiently small. As a result an analytical formula for lambda e is obtained. It corresponds to the classical Clausius-Mossotti approximation for the steady heat conduction. The obtained result implies that the effective conductivity of composites in unsteady case depends on time. This dependence is explicitly written in the considered case.