Dekompozycja singularnych układów liniowych

Pokazano, że znane twierdzenie Kalmana o dekompozycji standardowego układu liniowego na cztery rozłączne części za pomocą przekształcenia przez podobieństwo można uogólnić na układy singularne spełniające warunek regularności. Wykazano, że: 1) układ singularny niesterowalny i nieobserwowalny za pomocą równoważności silnej można rozłożyć na następujące cztery podukłady: podukład sterowalny i nieobserwowalny, podukład sterowalny i obserwowalny, podukład niesterowalny i nieobserwowalny oraz podukład niesterowalny i obserwowalny, 2) wielomian charakterystyczny układu jest iloczynem wielomianów charakterystycznych jego czterech podukładów; 3) macierz transmitancji układu jest równa macierzy transmitancji tylko jego podukładu sterowalnego i obserwowalnego; 4) stosując do układu sprzężenie zwrotne od stanu można zmieniać tylko dynamiki jego dwóch podukładów: podukładu sterowalnego i nieobserwowalnego oraz podukładu sterowalnego i obserwowalnego; 5) stosując do układu sprzężenie zwrotne od wyjścia można zmieniać tylko dynamikę jego podukładu sterowalnego i obserwowalnego.

---

It is shown that the well-known Kalman decomposition of standard linear systems into four independent parts by the use of similarity transformation can be extended for singular linear systems with regular pencils. It is shown that: 1)The uncontrollable and unobservable singular system can be decomposed by the use of the strict equivalence transformation into the following four subsystems: the controllable and unobservable subsystem, the controllable and observable subsystem, the uncontrollable and unobservable subsystem and the uncontrollable and observable subsystem; 2) The characteristic polynomial of the system is the product of the characteristic polynomials of the four subsystems; 3) The system transfer matrix is equal to the transfer matrix of its controllable and observable subsystem; 4) By the use of state feedbacks it is possible to modify the dynamics only of the following two subsystems: the controllable and unobservable subsystem and the controllable and observable subsystem; 5) By the use of output feedbacks it is possible to modify the dynamics only of the controllable and observable subsystem.