Tytuł pozycji:
Optimal shape design
In the paper the problem of optimisation by shape derivative has been presented. The approach allows to obtain the domain required by the so called continuous gradient approach with consists in calculating gradient before discretisation and the gradient is discretised. It has advantages to the classical approaches which is very general as to its possible applications - one of them is the area of electrical machinery. The example is to show the effectiveness of the method.
W optymalizacji kształtu można wyróżnić dwa podejścia: dyskretne i ciągłe. Podejście dyskretne, stosunkowo dobrze rozwinięte w analizie, polega na określeniu rozkładu pola dla danej geometrii obiektu i jego właściwości materiałowych przy pomocy np. metody elementów skończonych. W praktyce inżynierskiej takie podejście już nie wystarcza, raczej wymaga się znalezienia najlepszej, albo co najmniej ulepszonej geometrii danego problemu, z punktu widzenia pewnych cech żądanych przez projektanta. Temu celowi służy rozwiązywanie zagadnień odwrotnych teorii pola, formułowanych dla geometrii obiektu. W artykule zaproponowano, mając na względzie wady podejścia dyskretnego, podejście ciągłe do optymalnego projektowania kształtu, które po raz pierwszy zastosował Cea [1]. Różni się ono od podejścia dyskretnego tym, że na podstawie modelu matematycznego, wyznaczany jest gradient funkcjonału celu w formie wyrażeń całkowych i dopiero te wyrażenia są dyskretyzowane. Zatem dyskretyzacja następuje pod koniec procesu, a nie na jego początku, jak to było w podejściu dyskretnym. W metodzie tej najważniejszą rolę grają pojęcia pochodnej kształtu funkcji oraz pochodnej materiałowej funkcji i funkcjonału. I tak, jeżeli zmiany funkcji fi(x) rozpatrywane są względem ustalonego punktu x przestrzeni, to pochodna określona wzorem (1) nazywana jest pochodną kształtu funkcji fi(x) [1]. Natomiast, jeśli zmiany rozważane są względem punktu x(t) przemieszczającego się podczas przekształcenia T, to pochodna określona wzorem (2) nazywa się pochodną materiałową funkcji fi(x) [1]. Niech J będzie funkcjonałem zdefiniowanym jako całka wzorem (3) gdzie fi(t) jest funkcją regularną na obszarze omega(t). Wtedy pochodna materiałowa funkcjonału J określona jest wzorem (4) [3] gdzie V(T,n) jest składową prędkości, normalną do gamma, a fi' pochodną kształtu funkcji podcałkowej. Podejście, które opisano w niniejszej pracy związane jest z pojęciem pochodnej materiałowej w ujęciu brzegowym [2]. W przypadku, gdy brzeg rozpatrywanego obszaru zostanie sparametryzowany parametrem p, to wrażliwość funkcjonału kształtu względem tego parametru opisują zależności (5) i (6). Jako przykład zastosowania zaproponowanej metody rozwiązano problem optymalizacji kształtu obiektu prostokątnego w przestrzeni dwuwymiarowej. Transformowany brzeg obszaru, zgodnie z teorią elementu skończonego [3] aproksymuje się jednowymiarowymi elementami skończonymi. Rozwiązanie optymalne uzyskano na drodze minimalizacji funkcjonału kształtu. Metoda okazała się efektywna i może być wykorzystywana przy optymalizacji kształtu urządzeń elektromagnetycznych
