Bivariate densities having diagonal expansion revisited

We consider bivariate densities having diagonal expansions and review and generalize some of its known properties. In particular, Mehler's equality and Gebelein's inequality are generalized. Moreover, we consider stationary processes [...] with a covariance function r(i) and with bivariate densities of [...] having diagonal form with coefficients a (i),k=0,1,... and state general conditions under which sequences subordinated to [...] are long-range dependent and obey the reduction principle. Furthermore, in the special case a (i)=r(i) , k=0,1,... estimates based on such sequences enjoy some common asymptotic properties under long-range dependence.

---

W pracy rozpatrzono gęstości posiadające rozwinięcia diagonalne i uogólniono część ich znanych własności. W szczególności udowodniono uogólnienia tożsamości Mehlera i nierówności Gebeleina dla gęstości normalnych. Ponadto rozpatrzono stacjonarne procesy [...] takie, że gęstości [...] mają rozwinięcia diagonalne i podano ogólne warunki dostateczne na zależność dalekiego zasięgu takich ciągów oraz spełnienie zasady redukcji. W części końcowej zbadano asymptotyczne zachowanie się estymatorów jądrowych gęstości brzegowej dla rozpatrywanych procesów.