Decomposition of Kendall's tau : implications for clustering

A decomposition of a generalized Kendall's tau into three components ("within", "between" and "remainder" terms) is presented. We show how the maximization of the "Between" term can be used in clustering and that the optimal decomposition in the case of a regular dependence of variables is non-overlapping. Characterisation of admissible solutions to maximization problem is provided. Finally an efficient computer-intensive procedure of optimal clustering is suggested. In the Appendix the necessary conditions for maximizing tau are formulated. Moreover, the description and justification of the proposed procedure for maximizing tau is given.

---

W pracy przedstawiono dekompozycję uogólnionego tau Kendalla na trzy składowe ("within", "Between" oraz "remainder"). Pokazano,że przy optymalnej dekompozycji trzeci składni jest równy zero oraz że optymalny klastering odpowiada maksymalnej wartości składnika "between". Podano również algorytm optymalizacji klasteringu. W Appendixie podano warunki konieczne na to aby tau Kendalla było maksymalne. Podano również algorytm znajdowania maksymalnego tau.