The method of solving polynomials in the beam vibration problem

The paper presents a new method of finding an approximate solution to the beam vibration problem. The problem is described with a partial differential equation of the fourth order. Basically, linear differential equations can be solved by means of various methods. The key idea of the presented approach is to find polynomials (solving functions) that satisfy the considered differential equation identically. In this sense, it is a variant of the Trefftz method. The advantage of the method is that the approximate solution (a linear combination of the solving functions) satisfies the equation identically. The initial and boundary conditions are then satisfied approximately. The formulas for solving functions and their derivatives are obtained. The solving Trefftz functions can be used in the whole domain or can be used as base functions in nodeless FEM. Both cases are considered. A numerical example is included.

---

Artykuł przedstawia nową metodę przybliżonego rozwiązywania problemów drgań belki, które opisywane są cząstkowym równaniem różniczkowym czwartego rzędu. Generalnie takie równania mogą być rozwiązywane różnymi metodami. Główna idea prezentowanego tutaj podejścia polega na znalezieniu wielomianów spełniających w sposób ścisły dane równanie różniczkowe (funkcje rozwiązujące). Za rozwiązanie przybliżone przyjmuje się kombinację liniową tych funkcji, która również spełnia równanie. Współczynniki kombinacji liniowej wyznaczane są tak, aby uzyskane rozwiązanie w sposób najlepszy (w sensie średniokwadratowym) było dopasowane do danych warunków początkowych i brzegowych. Jest to zatem wariant metody Trefftza. W pracy wyznaczono efektywne wzory dla funkcji rozwiązujących i ich pochodnych. Uzyskane wielomiany mogą być wykorzystane do wyznaczenia rozwiązania w całym obszarze lub też mogą być użyte jako funkcje bazowe w bezwęzłowej Metodzie Elementów Skończonych. Oba przypadki rozważono w pracy. Załączono również przykłady numeryczne.