Estymacja maksymalnego wykładnika Lapunowa układów dynamicznych w oparciu o zjawisko synchronizacji

Przedmiotem niniejszej rozprawy jest nowa metoda estymacji maksymalnego wykładnika Lapunowa, której istota opiera się na zjawisku synchronizacji pary identycznych układów dynamicznych, połączonych mechanizmem ujemnego sprzężenia zwrotnego. We wstępnej części pracy opisane jest pojecie wykładnika Lapunowa, jego matematyczne własności i zastosowanie przy analizie układów dynamicznych, a także zwięzły opis znanych metod obliczania i szacowania zarówno największego wykładnika Lapunowa, jak też pełnego spektrum tych wykładników charakteryzujących rozpatrywany układ dynamiczny. Przedmiotem rozważań zawartych w rozdziale drugim jest teoretyczna analiza mechanizmów oddziaływania na siebie dwóch bliźniaczych układów dynamicznych, które prowadzą do pełnej synchronizacji tych układów. Analiza matematyczna jest zilustrowana interpretacją geometryczną oraz przykładami numerycznymi i stanowi ona teoretyczną podstawę proponowanej metody estymacji maksymalnego wykładnika Lapunowa. Pierwszym z rozpatrywanych mechanizmów jest ujemne sprzężenie zwrotne dwóch identycznych potoków fazowych. Takie ich połączenie charakteryzuje się liniową relacją pomiędzy wykładnikami Lapunowa charakterystycznymi dla tych układów i parametrami określającymi sprzężenie. Relacja ta umożliwia precyzyjne oszacowanie takich wartości tych parametrów, przy których następuje synchronizacja. Drugi z przedstawionych mechanizmów synchronizacyjnych jest odpowiednikiem ujemnego sprzężenia zwrotnego dla odwzorowań dyskretnych. W kolejnym rozdziale przedstawiono opis proponowanej metody. Zawiera on szczegółową instrukcję budowy numerycznego algorytmu procesu estymacji, który podczas realizacji wymaga określenia tylko kilku parametrów charakteryzujących metodę. W zależności od typu rozpatrywanego układu dynamicznego, maksymalny wykładnik Lapunowa można oszacować stosując jeden z trzech wariantów metody. Następnie przedstawione są przykłady estymacji maksymalnego wykładnika Lapunowa przy pomocy prezentowanej metody. Przedmiotem analizy numerycznej są modele matematyczne wybranych układów dynamicznych, zarówno odwzorowań, jak też potoków fazowych. Celem szerszego zaprezentowania możliwości proponowanej metody, rozpatrywane są głównie przykłady układów dynamicznych z nieciąglościami lub opóźnieniem czasowym, dla których zastosowanie znanych metod obliczania wykładników Lapunowa jest utrudnione. Dodatkowo zaprezentowano synchronizacyjną metodę detekcji ruchu chaotycznego, która jest uproszczoną wersją rozpatrywanej metody estymacji największego wykładnika Lapunowa. W końcowej części pracy zamieszczono analizę porównawcza wyników uzyskanych przy pomocy proponowanej metody z rezultatami otrzymanymi przy zastosowaniu innych znanych metod, dla tego samego modelu, Analizę tą połączono z dyskusją o przyczynach pojawiających się drobnych rozbieżności. W podsumowaniu zawarto uwagi i wnioski płynące z pracy oraz nakreślono kierunki dalszych badań związanych z poruszaną tematyką. Podstawową konkluzją pracy jest stwierdzenie, że zaprezentowana metoda posiada znaczne zalety w porównaniu do tradycyjnych algorytmów obliczania wykładników Lapunowa, szczególnie w odniesieniu do układów dynamicznych z nieciąglościami lub opóźnieniem czasowym, ponieważ bazuje ona na detekcji stanu synchronizacji, która jest zadaniem łatwym w numerycznej realizacji.

---

The monograph deals with a novel method of estimation of the largest Lyapunov exponent IN dynamical systems. This method exploits the phenomenon of full synchronization between a pair of identical dynamical systems, coupled together with the mechanism of negative feedback. The properties of chaos synchronization are theoretical base for estimation procedure. It has been shown, that diagonal diffusive coupling of two identical dynamical systems (flows) leads to the linear dependence between the largest Lyapunov exponent (which characterizes the coupled systems) and coupling coefficient. This dependence can be used for direct estimation of the largest Lyapunov exponent through numerical simulations of synchronization process. Similar synchronization effect can be achieved for a pair of unidirectionally coupled discrete maps also. Several examples of the method application for non-smooth mechanical systems and the systems with time delay has been demonstrated. These examples show that the presented approach can be successfully applied both for time-continuous systems described by differential equations and for the maps given by known difference equations or the maps reconstructed from actual time series. Since the synchronization is easily detectable, the method has significant practical advantage over more traditional algorithmic methods. From a viewpoint of practical applications, the presented method can be very useful for the estimation of the largest Lyapunov exponent in dynamical systems with discontinuities or time delay, where classical attempts are not easily applicable.