Revisiting the discrete–time SIS criss-cross model of epidemic dynamics for a heterogeneous population

In this paper we investigate a discrete-time SIS criss-cross model of epidemic dynamics for a heterogeneous population. In such population, we indicate individuals with a low and high susceptibility to infection. The analysed systems derives from its continuous–time counterpart and is based on the explicit Euler method. This paper is a continuation of our research on this model from the previous paper, in which we made its preliminary analysis. Now we focus on the invariance of the solutions’ set and the local stability of the endemic stationary state. We also make a numerical simulation suggesting an appearance of Neimark-Sacker bifurcation. The properties of the discrete-time system are different from those of analogical continuous-time one. We state that the proposed system is not appropriate for modeling epidemic dynamics.

---

W artykule zbadano możliwość wystąpienia bifurkacji Neimerka–Sackera (BNS) w dyskretnym dwuwymiarowym modelu SIS. W celu dyskretyzacji modelu ciągłego zastosowano jawny schemat Eulera. Jako parametr bifurkacyjny wybrano długość kroku dyskretyzacji, co nie jest standardowym podejściem. Sformułowaliśmy warunki wystąpienia bifurkacji w zależności od długości kroku. Najpierw sprawdzono, dla jakich warunków wartości własne macierzy Jacobiego dla endemicznego stanu stacjonarnego są zespolone oraz ich moduł wynosi 1. Następnie zastosowano twierdzenie o rozmaitości centralnej w celu wykluczenia tych wartości kroku dyskretyzacji, dla których BNS nie występuje. Rozważania teoretyczne są uzupełnione symulacjami numerycznymi.