Correlation between diagonal ratio and condition number of the generalized inertia matrix of a serial-chain

The condition number of the Generalized Inertia Matrix (GIM) of a serial chain can be used to measure its ill-conditioning. However, computation of the condition number is computationally very expensive. Therefore, this paper investigates alternative means to estimate the condition number, in particular, for a very long serial-chain. For this, the diagonal elements of the GIM are examined. It is found that the ratio of the largest and smallest diagonal elements of the GIM, when scaled using an initial estimate of the condition number, closely resembles the condition number. This significantly simplifies the process of detecting ill-conditioning of the GIM, which may help to decide on stability of the system at hand.

---

Wskaźnik uwarunkowania jest wykorzystywany jako miara złego uwarunkowania macierzy, np. dla uogólnionej macierzy bezwładności (GIM) łańcucha szeregowego. Niemniej, wyznaczenie tego współczynnika wymaga znacznego nakładu mocy obliczeniowej. Tak więc, w artykule zaproponowano sposoby alternatywne, pozwalające estymować współczynnik uwarunkowania, w szczególności dla bardzo długiego łańcucha szeregowego. W tym celu bada się elementy diagonalne uogólnionej macierzy bezwładności. Wykazano, że stosunek diagonalny (stosunek największego do najmniejszego elementu na głównej przekątnej macierzy bezwładności), przeskalowany przy użyciu estymatora początkowej wartości wskaźnika uwarunkowania, ma wartość bardzo zbliżoną do rzeczywistego wskaźnika uwarunkowania. Jego zastosowanie upraszcza w znaczący sposób ocenę złego uwarunkowania macierzy, dzięki czemu można od razu zdecydować czy układ jest stabilny.