Tytuł pozycji:
Konstruowanie krzywych eliptycznych z podgrupą danego rzędu i z danym pierścieniem endomorfizmów
Metoda mnożeń zespolonych (CM metoda) pozwala skonstruować krzywą eliptyczną nad ciałem skończonych, której pierścień endomorfizmów jest ordynkiem maksymalnym w ciele urojonym kwadratowym o odpowiednio małym wyróżniku. Stosując CM metodę Lay i Zimmer oraz Bröker i Stevenhagen podali metodę konstruowania krzywej eliptycznej danego rzędu n nad pewnym ciałem prostym. Ich metoda ma heurystycznie wielomianowy czas działania, jeśli n nie ma zbyt wielu dzielników pierwszych. W tym opracowaniu pokażemy, że w analogiczny sposób można skonstruować krzywą eliptyczną, która zawiera podgrupę danego rzędu r i ma dany pierścień endomorfizmów o odpowiednio małym wyróżniku. Przy pewnych heurystycznych założeniach metoda ma wielomianowy czas działania, jeśli r jest liczbą pierwszą.
The complex multiplication (CM) method allows one to construct an elliptic curve over a finite field, whose endomorphism ring is the maximal order in an imaginary quadratic field with a suitably small discriminant. Using CM method Lay-Zimmer and Bröker-Stevenhagen gave a method to construct an elliptic curve of a given order n over some prime field. Their method has a heuristic polynomial time if n has not too many prime factors. In this paper we show that in an analogous way one can construct an elliptic curve, which contains a subgroup of a given order r and has a given endomorphism ring with a suitably small discriminant. We give heuristic arguments, which show that the method works in a polynomial time if r is prime.
Opracowanie rekordu ze środków MNiSW, umowa Nr 461252 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2021).
