Sur lunicité du développement trigonométrique

Le but de cette note est de démontrer le suivant théorème: Si la série trigonométrique $a_0/2 + ∑_{n=1}^{n = ∞}(a_n cos2πnx + b_n sin2πnx )$, dont les coefficients $a_n, b_n$ tendent vers zéro quand n → ∞, converge vers zéro partout, sauf peut-être aux points d'un ensemble fermé Z, ou, plus généralement, si partout, sauf peut-être aux points de Z, on a $a_0/2 + lim_{r → 1} ∑_{n=1}^{n = ∞}(a_n cos2πnx + b_n sin2π nx )r^n =0$, alors, pourvu que l'ensemble Z soit du type Hardy-Littlevood-Steinhaus, on aura $a_0=0, a_n=b_n=0 (n=1,2,...)$.