Bogoliubov Transformations in Quantum Systems

The thesis begins with a detailed discussion of the structure of the Fock space. This space is used for describing systems with an undetermined number of particles in quantum field theory. Despite this, in the thesis I often discuss nonrelativistic examples.Creation and annihilation operators, which are defined on the Fock space, increase and decrease the number of particles. On the bosonic and fermionic Fock space we define families of such operators, satisfying certain commutation relations (CCR and CAR). Bogoliubov transformations, which have numerous important applications in physics, consist in choosing a different family of operators, with the same commutation relations. A simple system illustrating the above structures is the quantum harmonic oscillator. For example, its time evolution generates a continuous group of Bogoliubov transformations.

Praca rozpoczyna się szczegółową dyskusją struktury przestrzeni Focka. Przestrzeń ta służy do opisu układów o nieustalonej liczbie cząstek w kwantowej teorii pola. Pomimo tego, w pracy tej często odwołuję się do przykładów nierelatywistycznych.Operatory kreacji i anihilacji, zdefiniowane na przestrzeni Focka, zmmniejszają lub zwiększają liczbę cząstek. Na bozonowej i fermionowej przestrzeni Focka określone są rodziny tych operatorów, spełniających określone relacje komutacji (zwane CCR i CAR). Transformacje Bogolubowa, mające szereg ważnych zastosowań we współczesnej fizyce, polegają na przejściu do innej rodziny operatorów o takich samych własnościach komutacji. Prostym układem ilustrującym powyższe struktury jest kwantowy oscylator harmoniczny. Na przykład, jego ewolucja czasowa generuje ciągła grupę transformacji Bogolubowa.