Stochastic differential equations with delay and application to option pricing

Praca ta jest pracą głownie teoretyczną, zamującą się stochastycznymi równaniami różniczkowymi z prawą stroną istotnie zależną do przeszłości. Pierwszy rozdział poświęcony jest przybliżeniu podstawowych pojęć związanych z procesami stochastycznymi oraz stochastycznymi równaniami różniczkowymi, wraz z odnośnikami do literatury. Umieszczone zostały też pojęcia dotyczące matematyki finansowej. Rozdział drugi to wprowadzenie do tematyki równań zależnych od czasu. Udowodnione zostaje kluczowe w przypadku wszystkich typów równań różniczkowych twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności. Część miejsca poświęcona jest także równaniom w których opóźnienie nie jest stałe, ale jest zmienną losową o ustalonym rozkładzie. Rozdział ten jest bogato ilustrowany przykładami oraz ilustracjami. Ostatnia część pracy ma na celu uogólnienie klasycznego modelu Blacka-Scholesa. Pozbywamy się założenia o stałości współczynników dryftu i dyfuzji, zastępując je funkcjami zależnymi od przeszłych wartości procesu.

This thesis is concerning stochastic differential equations with right side depending on the past, usually called stochastic functional differential equations(SFDE). The first chapter is an introduction to the basic ideas of stochastic processes and stochastic differential equaitons. A brief introduction to financial mathematics is also included. The second chapter is about the main subject of the thesis, the theory of stochastic equations depending on the past. The essential theorem in case of all differential equations, the existence and uniqueness theorem is proved. We also deal with equtions where delay is a random variable. This chapter is also rich with examples. The last part is an attempt to generalise the classical Black-Scholes model. We get rid of the assumption about constant coeffitients and replace them with functions depending on the past. Chapter is closed with a comparison between those two models.