Applications of generalized free addition and multiplication laws to large non-Hermitian random matrices

The spectral densities of three examples of large non-Hermitian random matrices were analyzed using the general addition and multiplication laws formulated in terms of quaternionic R-transform. Calculations were done for ensembles constructed as: $(a\mathbb{1}+bX_{1})(c\mathbb{1}+dX_{2})$ where $X_{i}$ is a Ginibre matrix and $a$,$b$,$c$,$d\in\mathbb{C}$, $(\mathbb{1}+E_{1})(\mathbb{1}+E_{2})$ where $E_{i}$ is elliptic matrix and $(\mathbb{1}+H)(\mathbb{1}+X)$, where $H$ is GUE matrix and $X$ is Ginibre matrix. In each case the support of eigenvalue density, called hereafter the domain, was calculated in the infinite matrix size limit ($N\rightarrow\infty$). For the first ensemble the average eigenvalue distribution was obtained.All analytic predictions are compared with results of extensive numerical simulations of large, but finite, random matrices for a few different values of parameters.

Zostały przeanalizowane gęstości wartości własnych dla trzech przypadków dużych nie-Hermitowskich macierzy losowych przy wykorzystaniu uogólnionych praw swobodnego dodawania i mnożenia sformułowanych poprzez kwaternionową transformatę R. Obliczenia zostały wykonane dla zespołów macierzy losowych zbudowanych następująco: $(a\\mathbb{1}+bX_{1})(c\\mathbb{1}+dX_{2})$ gdzie $X_{i}$ to macierze Ginibre i $a$,$b$,$c$,$d\\in\\mathbb{C}$, $(\\mathbb{1}+E_{1})(\\mathbb{1}+E_{2})$ gdzie $E_{i}$ są macierzami eliptycznymi oraz $(\\mathbb{1}+H)(\\mathbb{1}+X)$, gdize $H$ to macierz GUE, a $X$ jest macierzą Ginibre. W każdym przypadku został wyznaczony nośnik rozkładu wartości własnych, odtąd zwany domeną, w granicy nieskończonego rozmiaru macierzy ($N\\rightarrow\\infty$). Dla pierwszego zespołu otrzymano średni rozkład wartości własnych.Wszystkie przewidywania analityczne są porównywane z rezultatami wyczerpujących symulacji numerycznych dużych, ale skończonych, macierzy losowych dla kilku wartości parametrów.