Wybrane metody badania równań różniczkowych na przykładzie bifurkacji Hopfa

In this thesis there are presented selected tools and methods of research in the theory of ordinary differential equations. Their applications are shown in the study of qualitative behaviour of the Poincare-Andronov-Hopf bifurcation. First part of the thesis points basic facts about, inter alia, the center manifold theory, the normal forms theory, the Poincare map, the Conley index theory and the Ważewski’s method.Last chapter is devoted to study of the qualitative behaviour of the Hopf bifurcation from a stationary point, and it was done by the author of the thesis. The investigated planar equation is transformed into the normal form in polar coordinates. Subsequently, for the truncated normal form, there is given proof of existence of a bifurcating periodic orbit, its uniqueness and the type of stability depending on the one of the coefficients. The main point of the thesis is justification that analogic statements hold for the initial equation.Afterwards, generalisation onto R^{n} is considered. Under appropriate assumptions, the existence of asymptotically stable periodic orbit is shown.At the end of the thesis, it is shown, basing on obtained results, that equation describing the van der Pol oscillator with nonlinear damping undergoes supercritical Hopf bifurcation.

Praca prezentuje wybrane narzędzia i metody badania równań różniczkowych zwyczajnych oraz ich zastosowanie na przykładzie badania bifurkacji Hopfa. W pierwszej części pracy przybliżone zostały podstawowe fakty dotyczące rozmaitości centralnych, postaci normalnych, sekcji i odwzorowania Poincare’go oraz indeksu Conley’a i metody Ważewskiego. Ostatni rozdział pracy poświęcony jest analizie jakościowej bifurkacji Hopfa z punktu stacjonarnego, której autor dokonał przy użyciu opisanych wcześniej metod. Badane równanie na płaszczyźnie R^{2} najpierw zostaje sprowadzone do postaci normalnej we współrzędnych biegunowych. Następnie dla odpowiadającej mu topologicznej postaci normalnej zostaje udowodnione istnienie bifurkującej orbity okresowej, jej jedyność i określenie jej stabilności. Najważniejszym punktem pracy jest wykazanie, iż analogiczne stwierdzenia są prawdziwe dla wyjściowego równania. Kolejnym krokiem jest uogólnienie bifurkacji na przestrzeń R^{n}, n>2. Po dokonaniu odpowiednich założeń o badanym równaniu różniczkowym, pokazano istnienie bifurkującej orbity okresowej, asymptotycznie stabilnej w R^{n}.Ostatnim etapem jest podanie przykładów występowań bifurkacji Hopfa. Na podstawie wcześniej opisanych rezultatów, uzasadniono rodzaj bifurkacji jakiej podlega równanie opisujące oscylator van der Pola z nieliniowym tłumieniem.