Procesy Lévyego i ich zastosowania w finansach

Proces Levy’ego – proces stochastyczny charakteryzujący się jednorodnymi i niezależnymi przyrostami, dopuszczający skoki – jest narzędziem znajdującym liczne zastosowania. Celem niniejszej pracy jest wprowadzenie do tej klasy procesów, analiza podstaw teoretycznych i zastosowanie w modelowaniu matematycznym.W pierwszym rozdziale, przedstawimy kilka mankamentów ciągłych modeli opartych na rozkładzie normalnym, w szczególności modelu Blacka-Scholesa.W części drugiej zaprezentujemy niektóre z najważniejszych wyników teoretycznych teorii procesów Levy’ego m.in. związek rozkładów nieskończenie podzielnych z procesami Levy’ego, twierdzenie Levy’ego-Chinczyna z dowodem, twierdzenie Levy’ego-Ito o dekompozycji oraz własności miary Levy’ego. Na koniec, skupimy się na uogólnionych rozkładach hiperbolicznych oraz podamy przykład ich zastosowania do danych rynkowych.

Levy processes – stochastic process with jumps whose increments are stationary and independent – are a mathematical tool which finds many applications. The aim of this Master Thesis is to introduce the class of these processes, to carry out an analysis of their fundamentals and to apply them to mathematical modeling.In the first part, we mention a few drawbacks of models that are based on the Gaussian distribution, especially the Black-Scholes model.In the second part, we present several important results of the Levy theory: a connection between infinite divisibility distributions and Levy processes, Levy-Khintchine formula with proof, Levy-Ito decomposition and properties of Levy measure.In the last part, we turn our attention to generalized hyperbolic distribution and present some applications to market data.