Conformal Defects in Supergravity

Korespondencja AdS/CFT jest często używanym narzędziem do badania dynamiki konforemnych teorii pola (oraz innych kwantowych teorii pola powstałych z konforemnych przez deformację) w ich nieperturbacyjnych obszarach. Jednym z powodów dla badania tych teorii jest, iż konforemne teorie pola uważa się za efektywny opis układów obserwowanych w fazach krystalicznych w pobliżu tak zwanego kwantowego punktu krytycznego. Od niedawna dużym zainteresowaniem cieszą się holograficzne modele, w których złamana jest symetria translacyjna wzdłuż jednego (lub więcej) z kierunków przestrzennych, zdaje się bowiem, że odwzorowują one poprawnie niektóre własności materiałów obserwowanych w przyrodzie, jak na przykład zależność przewodnictwa elektrycznego od częstotliwości przykładanego napięcia. W tej Pracy Magisterskiej przedstawiam jeden z takich modeli, gdzie łamanie symetrii translacyjnej odbywa się poprzez zmodyfikowanie teorii o wyraz źródłowy proporcjonalny do delty Diraca skupionej na prostej. W opisie holograficznym odpowiada to rozwiązaniu równań Einsteina z dodatkowym polem skalarnym spełniającym nieciągłe, dystrybucyjne warunki brzegowe typu delta Diraca. Analiza równań wskazuje, że rozwiązanie spełniające te warunki brzegowe i zachowujące pozostałe symetrie problemu istnieje jedynie jeśli potencjał dla pola skalarnego ma ściśle określoną postać V(x) = -6 cosh(x/sqrt{3}). Okazuje się, że jest to potencjał, który uzyskalibyśmy również przeprowadzając redukcję i obcięcia skompaktyfikowanej (na sposób Kaluzy-Kleina) Supergrawitacji w D=11. Przyjmując wspomnianą postać potencjału rozwiązuje równania Einsteina dla dwu przypadków: odpowiadającemu stanowi próżni w teorii pola (o asymptotyce AdS) oraz stanowi termalnemu (metryka z horyzontem zdarzeń). Korzystając z numerycznych rozwiązań przedstawiam też wyliczenie entropii splątania dla paska otaczającego defekt. Przedstawione rozwiązania stanowią pierwszy krok w stronę realizacji znanego w mechanice kwantowej modelu siatki krystalicznej Kroninga-Penneya w formalizmie AdS/CFT. Rezultaty przedstawione w Pracy są oparte na artykule autorstwa R. Janika, J. Jankowskiego i mojego dostępnym w serwisie ArXiv hep-th:1503.08459.

The AdS/CFT correspondence (or gauge/gravity duality) is a widely used tool in the study of strongly coupled Conformal Field Theories (and other QFT`s arising from them by deformations). One of the main motivations to study thosecomes from Condense Matter Physics, where such theories are believed to govern phenomena near the quantum critical point. Recently holographic models with broken translational symmetry in the boundary theory drew growing attention as they tend to properly recreate basic properties of real-life materials, such as Drude peak in optical conductivity. In this Thesis one of such models is described, in which the breaking of translational symmetry is achieved by introduction of spatially concentrated, Dirac Delta-like source to the boundary CFT, which corresponds via the AdS/CFT to solving Einstein-scalar equation with non-continuous, Dirac Delta boundary condition. The analysis of these equations reveals that requirement for the solution to fulfil both boundary condition and preserve conformal symmetry along the defect line uniquely fixes the potential for scalar field in the theory to be V(x) = -6 cosh(x/sqrt{3}). This also happens to coincide with a potential arising in reduction and truncation of Kaluza-Klein compactified D=11 Supergravity. With such a choice of potential full numerical and perturbative solutions of the Einstein-scalar equations are computed, both for temperature T=0 (AdS asymptotics in the IR) and T>0 (solution with a planar horizon). Then the Entanglement Entropy of a strip containing the defect is calculated in both cases. The obtained solutions are first step towards holographic realisation of well known Kroning-Penney model of crystal. The results presented in this Thesis are also contained in a paper by R. Janik, J. Jankowski and myself available on ArXiv hep-th:1503.08459.