Optymalny dobór węzłów interpolacji

The master thesis deals with selected topics concerning optimal interpolation nodes. The first part contains basic facts about polynomial interpolation. The second section starts with a description of Runge's phenomenon for equidistant nodes on an interval. Next we define Chebyshev polynomials with zeros that provide optimal nodes on the interval [-1,1]. In the next part we present two fundamental theorems which allow us to verify convergence of interpolating polynomials. Presented proofs of Kalmar-Walsh and Blom-Bos-Christensen-Levenberg theorems base on some facts from potential theory. In the last section, we present several examples of interpolation nodes for compact subsets of the complex plane.

Praca magisterska poświęcona jest wybranym zagadnieniom dotyczącym optymalnych węzłów interpolacji. Pierwsza część zawiera podstawowe fakty związane z interpolacją wielomianową. W kolejnej części, wychodząc od prezentacji efektu Rungego dla węzłów równoodległych na odcinku, definiujemy wielomiany Czebyszewa, których zera są optymalnymi węzłami na przedziale [-1,1]. W kolejnej części podajemy dwa fundamentalne twierdzenia pozwalające zweryfikować zbieżność wielomianu interpolacyjnego. Dowody twierdzeń Kalmara-Walsha i Blooma-Bosa-Christensena-Levenberga opierają się na kilku faktach z teorii potencjału. W ostatniej części prezentujemy wybrane rodziny węzłów interpolacji określone na zwartych podzbiorach płaszczyzny zespolonej.