O lemacie Schwarza

Tematem pracy magisterskiej jest omówienie klasycznej wersji lematu Schwarza w kole jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej. Najpierw zostały rozważone zagadnienia takie jak automorfizmy koła jednostkowego, odwzorowanie górnej półpłaszczyzny w koło jednostkowe, a następnie przy ich wykorzystaniu przedstawione zostały zastosowania lematu w dowodach wybranych twierdzeń (pojawiają się tu np. twierdzenie Liouville’a, lemat Schwarza-Picka, nierówność Julii oraz inne uogólnienia).

The main purpose of this paper is to discuss the classical version of the Schwarz lemma in the unit disk in the complex plane. Firstly, we consider automorphisms of the unit disk. Next, we investigate holomorphic mappings from the upper half-plane onto the unit disk. Then, we apply the Schwarz lemma in proofs of selected theorems (Liouville theorem, Schwarz-Pick lemma, Julia’s inequality and others).