The most important properties of the number e and π. From definition to transcendence.

Liczba pi oraz liczba e to chyba dwie najpopularniejsze stałe matematyczne. Spotykamy się z nimi już w szkole, jednak dowiadujemy się o nich bardzo mało. W pierwszym rozdziale pracy przedstawione zostały definicje, twierdzenia i lematy pomocnicze potrzebne do zrozumienia dalszej części. Dalej znajdziemy precyzyjne definicje wspomnianych wyżej stałych matematycznych. Definicje te poprzedzone zostały formalnymi dowodami ich poprawności. Oprócz definicji rozdział zawiera również informacje dotyczące oznaczeń liczb e oraz pi oraz podstawowe własności. W rozdziale trzecim autor przedstawia wraz z wyprowadzeniem liczne wzory i zależności zawierające stałe e i pi. Rozdział ten dzieli się na trzy części. W pierwszej z nich opisane jest w jaki sposób już w starożytności wyprowadzono wzór m.in. na objętość kuli jak i jej pole powierzchni. W drugiej części użyto współczesnych metod do wyprowadzenia wzorów związanych z kołem i kulą tj. pole koła, długość okręgu, objętość kuli oraz pole sfery. Trzecia część tego rozdziału zawiera inne, ciekawe wzory, w których występują omawiane w pracy stałe np. wzór Stirlinga, wzór Wallisa, czy całka Gaussa. Następne dwa rozdziały są główną częścią i celem tej pracy. Pierwszy z nich zawiera formalnie, bardzo precyzyjnie przeprowadzone dowody niewymierności liczb e oraz pi. Ponadto znajdują się w nim też dowody niewymierności kwadratów tych liczb. Następnie znajdziemy dowody przestępności dwóch tytułowych stałych matematycznych. Dowody te poprzedzone zostały krótkim wstępem dotyczącym historii omawianych zagadnień. Co warto podkreślić, dowody w tych dwóch rozdziałach są opisane szczególnie drobiazgowo, w przeciwieństwie do większości dostępnych źródeł. Końcowe dwa rozdziały w tej pracy są znacznie krótsze od pozostałych. Pierwszy z nich zawiera formalny dowód niemożliwości wykonania kwadratury koła. Ostatni zaś jest podsumowaniem tego, co wiemy o liczbach pi i e oraz tego czego jeszcze o nich nie wiemy. Wskazane są w nim konkretne liczby powiązane z liczbami pi i e, których niewymierności lub przestępności nikt do tej pory nie rozstrzygnął.

The number Pi and number e are probably two of the most popular mathematical constants. We learn about their existence relatively early in school, but do not gain a lot of other knowledge related to this topic. The first chapter of this work contains mathematical background essential to be able to understand the rest of the article. In the next section, we find precise definitions of the aforementioned mathematical constants and other fundamental information regarding these numbers. In the third segment we can read about numerous formulas and relationships concerning numbers Pi and e. This chapter is divided into three different parts: the first one is about methods used in ancient times, the second one deals with procedures of our times and the last one contains other interesting formulas associated with the constants. Next two chapters are the main goal of the work, which is to describe accurate and procedural proofs of both number Pi and number e (as well as squares of these numbers) being irrational and transcendental numbers. It is worth stressing the fact that all proofs in these chapters are depicted extraordinarily meticulously, a thing rarely seen in majority of accessible sources. Finally, second to last chapter contains formal proof of why squaring the circle is impossible and the last section is an overview of our knowledge and lack of thereof of numbers Pi and e. In particular, specific numbers which have yet to be shown as irrational or transcendental, are indicated.