Isoperimetric inequality on Riemann surfaces

This thesis presents the following proofs of classical isoperimetric inequality:a) on a plane, with complex variables,b) in real n-dimensional space, with polarization of a function and its symmetric decreasing rearrangement.Furthermore, one can find there formulation of the isoperimetric inequality on one-dimensional complex manifold (Riemann surface), in which a Gaussian curvature is used, along with its proof. This part of the paper is supported by chapter, in which a prerequisite notions of differential geometry and theory of shortening embedded curves with selected theorems are contained.

W pracy przedstawione zostały dowody klasycznej nierówności izoperymetrycznej:a) na płaszczyźnie, w którym zostały wykorzystane zmienne zespolone,b) w n-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej, z użyciem polaryzacji funkcji oraz jej symetrycznego przestawienia malejącego.Ponadto, znajduje się tu sformułowanie nierówności izoperymetrycznej na jednowymiarowej rozmaitości zespolonej (powierzchni Riemanna) z wykorzystaniem krzywizny Gaussa tejże powierzchni, wraz z dowodem. Część tę poprzedza rozdział, w którym wprowadzone zostały niezbędne pojęcia geometrii różniczkowej oraz teorii skracania krzywych na powierzchniach wraz z wybranymi twierdzeniami.