Nieporządek i quasi-periodyczność w jednowymiarowych układach topologicznych

Wykorzystując model ścisłego wiązania możemy otrzymać układy o nietrywialnych własnościach topologicznych. Jednym z najbardziej znanych modeli, który je wykazuje, jest model Su – Schrieffer – Heeger (SSH), który ma jednowymiarową, dimeryczną strukturę. W tej pracy rozszerzamy ten model o dodatkowe człony, a następnie obserwujemy, jak wpływają one na niezmienniki topologiczne. W pierwszym rozdziale wprowadzamy dwa niezmienniki: indeks punktu względem krzywej i liczbę Cherna, dla których podajemy wzory, które można wykorzystać do obliczeń numerycznych. Druga sekcja koncentruje się na modelu SSH i jego rozszerzeniach, które obejmują warunki przeskoki dalekiego zasięgu lub modulację quasi-periodyczną. Następnie w trzeciej części zbadamy, jak zmieniają się wartości indeksu punktu względem krzywej, gdy uwzględnimy zaburzenie w standardowym modelu SSH oraz w modelu SSH ze skokiem dalekiego zasięgu. W ostatniej części traktujemy quasi-periodyczną modulację zastosowaną w modelu SSH jako nowy wymiar w układzie. To prowadzi nas do liczby Cherna, dla której pokazujemy, jak dwa rodzaje modulacji, które tworzą modele z różnych klas symetrii, mogą skutkować takimi samymi wartościami tego niezmiennika.

By using tight binding model we can obtain systems with non-trivial topological properties. One of the most well known models that exhibits them is the Su–Schrieffer–Heeger (SSH) model which has one-dimensional, dimeric structure. In this thesis we expand this model by including additional terms, and then we observe how they impact the topological invariants. In the first section we introduce two invariants: the winding number and the Chern number, for which we provide formulas that can be used for the numerical computation. The second section is focused on the SSH model and its extensions that include long-range hopping terms or quasiperiodic modulation. Then in the third section we investigate how the values of the winding number change when we include disorder in the standard SSH model, and in the SSH model with long-range hopping term. In the last section, we treat the quasiperiodic modulation applied to the SSH model as a new dimension in the system. This leads us to the Chern number for which we show how two types of modulation, which create models from different symmetry classes, can result in the same values of that invariant.