Wpływ potęgowania Hadamarda na stabilność wielomianów w sensie Hurwitza.

In my thesis, I address the Routh-Hurwitz problem of finding the stability conditions of a polynomial and studying those properties of the polynomial that are related to the position of its roots with respect to the imaginary axis. I give well-known results such as the Routh-Hurwitz criterion, the Liènard-Chipart criterion, and the Hermite-Biehler interlacing theorem. In particular, I focus on the effect of Hadamard powers on the stability of polynomials in the Hurwitz sense by stating the theorem proved by J.Garloff and DG.Wagner that natural powers preserve stability. I present original results generalizing the theorem to real powers for degrees less than 6 and a counter-example for polynomials of degrees higher than 5.

W mojej pracy magisterskiej poruszam problem Rutha-Hurwitza polegający na znalezieniu warunków stabilności wielomianu oraz badaniu tych jego własności, które związane są z położeniem jego pierwiastków względem osi urojonej. Podaję dobrze znane wyniki takie jak kryterium Routha-Hurwitza, kryterium Liènarda-Chiparta, czy twierdzenie Hermite'a-Biehlera o przeplataniu. Skupiam się w szczególności na wpływie potęgowania Hadamarda na stabilność wielomianów w sensie Hurwitza podając twierdzenie udowodnione przez J.Garloffa i DG.Wagnera, mówiące o tym, że naturalne potęgi zachowują stabilność. Przedstawiam nowe, autorskie wyniki uogólniające twierdzenie do potęg rzeczywistych dla stopni mniejszych od 6 oraz kontrprzykład dla wielomianów stopni wyższych niż 5.